0
0

利用重心推导平方和公式

admin 发表于 2014年09月01日 03:45 | Hits: 2012
Tag: 数列 | 物理 | 几何 | Uncategorized | 证明

港式五张怎么玩假设平面上有 1 + 2 + 3 + … + n 个小球,每个小球的质量都是 1kg 。它们排成了一个三角形阵,具体地说,它们排成了一个倒置的、以 (0, 1) 为顶点的等边三角形。这个三角形阵作为一整个物体,它的重心的 y 坐标是多少?我们有两种不同的求解方法。


第一种方法是暴力方法。这个物体的重心的 y 坐标,一定等于所有小球的 y 坐标的平均值,即

(1 × 1 + 2 × 2 + 3 × 3 + … + n × n) / (1 + 2 + 3 + … + n)

或者写作

(12+ 22+ 32+ … + n2) / (n · (n + 1) / 2)

港式五张怎么玩另一种方法则是利用图形的对称性。由对称性,整个三角形阵的重心显然应该位于这个三角形各边中线的交点上,一些经典的几何结论可以告诉我们,这个交点正好把每条中线都分成了 1 : 2 两段。因而,这个点的 y 坐标就是

1 + 2 · (n – 1) / 3 = (2 n + 1) / 3

港式五张怎么玩这两种方法求出来的答案应该相等。于是,我们得到了等式

港式五张怎么玩(12+ 22+ 32+ … + n2) / (n · (n + 1) / 2) = (2 n + 1) / 3

港式五张怎么玩12+ 22+ 32+ … + n2= n · (n + 1) · (2 n + 1) / 6

这个方法是我在 Proofs Without Words II – More Exercises in Visual Thinking 一书里看到的。

原文链接: http://www.matrix67.com/blog/archives/6105

0     0

评价列表(0)